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APRÈS-MIDI PHILOMATHIQUES
UNIVERSITÉ
PARIS 7 - CNRS
INSTITUT DE MATHÉMATIQUES - INSTITUT HENRI POINCARÉ
EUROPEAN COMMUNITY
INSTITUT
HENRI POINCARÉ
11, Rue Pierre et Marie Curie - 75005 PARIS
SALLE 421
ORGANISATEUR : S. OFMAN
12 et 13 MAI 2009
La rencontre
sera suivie d’un RÉCITAL Schubert et Brahms, Bernard Vitrac baryton et Loup
Verlet au piano
SUR LA NÉGATION, DE L'ANTIQUITÉ
GRECQUE À NOS JOURS II
Mardi 12 mai, 14h30-18h30, salle 314
14h30-15h30: Alain PROUTÉ (Logique Mathématique-Paris7): Pourquoi existe-t-il une logique non classique ?
Résumé :
La
logique ``non classique'' renonce au principe du tiers exclu, à savoir à la
vérité systématique de l'énoncé ``E ou (non E)'' pour tout énoncé E. On peut se
demander pourquoi cet axiome là plutôt qu'un autre ? La raison qui sera
proposée comme ``essentielle'' dans cet exposé est le fait que si on définit la
logique à partir des ``principes naturels'' du raisonnement, principes qu'on
peut formaliser d'une façon très uniforme par des adjonctions, on tombe sur un
système qui satisfait (presque) tous les axiomes habituels, mais pas
nécessairement celui du tiers exclu (et qui ne peut d'ailleurs en aucun cas
satisfaire sa négation, ce qui fait que le tiers exclu est alors indécidable).
Une autre raison, bien entendu très liée à la précédente, est le fait que les
axiomes résultant de ces adjonctions conduisent à des mathématiques
constructives, alors qu'on peut montrer que ce n'est pas le cas du tiers exclu
en présence d'ensembles infinis.
15h45-16h45 : Bernard
VITRAC (CNRS-Centre Louis Gernet) : Les
usages du négatif dans les démonstrations des Éléments d'Euclide : un inventaire
Résumé :
La négativité se manifeste de différentes
manières dans les Éléments d’Euclide :
• par le biais de notions explicitement
négatives (par exemple l’incommensurabilité ou l’irrationalité) ou, du moins,
limitatives (primarité, coprimarité).
• par des preuves « purement logiques »
dans lesquelles il n’y a pas de développement géométrique (ou arithmétique) à
proprement parler, mais qui travaillent avec la contraposition ou des arguments
à peine plus complexes.
• par l’usage de réductions à l’impossible
ou à l’absurde, lesquelles combinent un schéma logique bien connu et une
déduction synthétique géométrique ou arithmétique.
Ces
arguments indirects ne sont pas rares dans les Éléments. On en compte environ
140 (dans le texte tel qu’il a été édité par J. L. Heiberg) qui concernent une
bonne centaine de Propositions (sur 465 dans ladite édition). Pourtant, avant
et après Euclide, les philosophes (Aristote, IVe s. avant JC ; Proclus, Ve
s.) affirment que la démonstration directe est préférable à l’indirecte.
Certains mathématiciens (Héron d’Alexandrie, Ménélaos d’Alexandrie) semblent
même partager ce point de vue et ont proposé quelques preuves alternatives à
celles d’Euclide, visant à remplacer une démarche indirecte par une directe.
Sur
les intentions d’Euclide, sur ses parti pris épistémologiques, nous n’avons
aucune information. Nous disposons seulement de son traité, dépourvu de
préface, et nous devons nous en contenter. La langue formulaire des Éléments
montre par exemple que les deux catégories de preuve distinguées ci-dessus sont
stylistiquement différenciées dans le texte.
Leurs
apparitions dans les différents Livres ne sont pas aléatoires, mais corrélées à
certaines thématiques ou à des types de questionnement spécifiques portant
notamment sur l’unicité de certains objets, l’impossibilité de certaines
constructions, la mise en place de classifications et d’inventaire. Bref, les
effets de la négativité dans les Éléments concourent fortement au travail
fondationnel du traité.
La
taille du dossier exclut que je l’expose exhaustivement, mais je soulignerai la
régularité des formulations et ses limites ; j’examinerai aussi un certain
nombre d’exemples.
17h-18h : Fabio
ACERBI (Université de Lille) : Théorie
et pratique de la négation dans les mathématiques et la logique grecques
Résumé : L'exposé présente les différentes sortes
d'énoncés négatifs employés dans le style mathématique grec. La pratique
mathématique est comparée avec les doctrines des écoles logiques majeures,
notamment avec les prescriptions très strictes de la logique Stoïcienne sur la
position de la négation à l'intérieur de la phrase.
18h-18h30 :
Table ronde et discussion
Mercredi 13 mai, 14h30-17h45, amphi Darboux
14h30-17h45 :
Anatole KHÉLIF (Logique-Mathématique-Paris7) : Mécanique quantique, catégories, tovariance et limites projectives
universelles
Resumé : En Mécanique Quantique, les états possibles
d'un système ne vérifient pas forcément une logique classique. Comment
raisonner dessus, "l'ensemble des états" est-il réellement un
ensemble ? 2 pistes seront évoquées : le principe de tovariance et les limites
projectives universelles. Nous discuterons aussi d'une "mesure" de
l'écart avec la logique classique.
15h45-16h45 :
Pierre BAUDOT (CNRS- Institut des systèmes complexes) : Négation, différenciation et irréversibilité
Resumé :
La
dualité entre expériences et modèles, et les contradictions inhérentes qu'elle
génère continuellement en science tout en la motivant, se trouve au coeur des
investigations théoriques et experimentales des Neurosciences dont le sujet est
la modélisation de l'expérience vécue. En réumpruntant un chemin entamé par
Poincaré, illustré ici par la psychophysique, nous montrerons en quoi la
topologie permet de lever ces contradictions, et proposerons que la perception
soit de nature topologique. Plus aventureusement et pour discuter le précédent
exposé de Mr Prouté, nous proposerons que cette "être" topologique
pourrait constituer un modèle logique constructiviste fini. Dans un deuxième
temps, nous verrons comment cette topologie s'incarne dans nos mécanismes
corticaux et comment il est possible de l'exprimer en terme
d'information-entropie, dans un cadre analogue à la thermodynamique
hors-équilibre. Si le temps le permet, nous en viendront aux questions
difficiles et peut être non encore résolues, qui concernent l'obtention d'une
loi d'évolution, et qui se résument in-fine à trouver une signature topologique
du temps et de l'espace physique (dans la positivité-négativité de
l'information ?).
17h-17h45 :
Table ronde et discussion
18h-19h :
RÉCITAL Schubert et Brahms
SCHUBERT :
6 extraits du Winterreise (Gute Nacht, Erstarrung, Frühlingstraume, Die Krähe,
Der Wegweiser, Der Leiermann) - Der Tod und das Mädchen - Der
Wanderer- Aufenthalt - Harfenspieler I - Der Atlas - Der
Doppelgänger. BRAHMS : Der Tod das ist die kühle Nacht - Meerfahrt
21 MAI 2008
SUR LA NÉGATION, DE L'ANTIQUITÉ
GRECQUE À NOS JOURS I
14h-15h : Marc
LACHIÈZE-REY (Saclay) : Négativités : l’espace, le temps ; symétries et dualités
en physique contemporaine
15h15-16h15 :
Daniel BENNEQUIN (Paris 7) : La négation homologique
Resumé : Henri Poincaré a initié un calcul algébrique
avec des variétés qui s'est étendu peu à peu à tous les objets des
mathématiques. Traiter les figures géométriques comme des nombres demandait de
renoncer à la plupart de leurs propriétés apparentes, mais en contrepartie cela
permettait de définir les caractéristiques de leurs formes, et de découvrir des
opérations nouvelles sur ces formes, comme les dualités. Caractériser la
démarche homologique étendue à toutes les structures peut se révéler utile pour
comprendre le travail mathématique en général, et aussi pour mettre en place de
nouveaux concepts philosophiques.
16h30-17h30 :
Alain PROUTÉ (Paris 7) : Le raisonnement par l'absurde
17h30-18h30 :
Table ronde et discussion
